GNU Octave kullanımı üzerine Türkçe eğitim notları ve örnekler.
layout: default title: Octave’de ODE45 ve Newton’un İkinci Yasası —
Newton’ın İkinci Yasası, bir cisim üzerinde uygulanan net kuvvetin, o cismin kütlesine ve ivmesine eşit olduğunu belirtir. Bu yasayı matematiksel olarak ifade etmek için aşağıdaki denklem kullanılır:
F = m * a
Burada:
Bu denklem, bir cismin hareketini zamanla nasıl değiştirdiğini açıklamak için kullanılabilir.
Örnek:
Bir cisim üzerinde 10 Newtonluk bir kuvvet uygulandığını ve cismin kütlesinin 2 kilogram olduğunu varsayalım. Bu durumda cismin ivmesi ne olacaktır?
Newton’ın İkinci Yasasını kullanarak ivmeyi hesaplayabiliriz:
a = F / m
a = 10 N / 2 kg
a = 5 m/s²
Görüldüğü gibi, 10 Newtonluk bir kuvvet 2 kilogram kütleli bir cismi 5 metre/saniyekare lik bir ivmeyle hızlandırır.
ODE45 Kullanarak Hareketi Çözme:
Newton’ın ikinci yasası (a = F/m
), ikinci dereceden bir diferansiyel denklemdir çünkü ivme, konumun zamana göre ikinci türevidir (a = d²x/dt²
). ode45
gibi sayısal çözücüler, birinci dereceden diferansiyel denklem sistemleriyle çalışır. Bu nedenle, ikinci dereceden denklemimizi iki adet birinci dereceden denkleme dönüştürmemiz gerekir:
y(1)
: Cismin konumu (x
)y(2)
: Cismin hızı (v
veya dx/dt
)dy(1)/dt = y(2)
dy(2)/dt = F/m
Bu sistem, ode45
fonksiyonuna verilecek olan diferansiyel denklem fonksiyonunu tanımlar. Fonksiyon, t
(zaman) ve y
(durum vektörü: [konum; hız]
) girdilerini alıp, bu durumların türevlerinden oluşan bir vektör ([hız; ivme]
) döndürmelidir.
Örnek Kodu:
Aşağıdaki kod, bu sistemi ode45
ile çözer ve sonuçları tek bir grafikte, farklı renkler ve bir lejant (legend) ile gösterir.
% Cismin kütlesi
m = 2; % kg
% Cisim üzerinde uygulanan kuvvet
F = 10; % N
% Başlangıç koşulları [konum; hız]
y0 = [0; 0]; % [metre; m/s]
% Zaman aralığı
t_eval = 0:0.1:10; % saniye
% Diferansiyel denklem sistemi fonksiyonu
% y(1) -> konum, y(2) -> hız
% dy(1)/dt = y(2) (hız)
% dy(2)/dt = F/m (ivme)
newton_ode = @(t, y) [y(2); F/m];
% ODE45 fonksiyonunu kullanarak hareketi çöz
[t, y] = ode45(newton_ode, t_eval, y0);
% Konumu ve hızı tek bir grafikte göster
plot(t, y(:,1), 'b-', 'LineWidth', 2, t, y(:,2), 'r--', 'LineWidth', 2);
grid on;
title("Newton'ın İkinci Yasası: Konum ve Hız");
xlabel('Zaman (s)');
ylabel('Değer');
legend('Konum (m)', 'Hız (m/s)', 'Location', 'northwest');
Bu kod, cismin konumunu ve hızını zamanla gösteren iki grafik oluşturacaktır.
Özet:
Notlar: