---

layout: default title: Octave’de ODE45 ve Newton’un İkinci Yasası —

Octave’de ODE45 Fonksiyonu Detaylı Örnek: Newton’ın İkinci Yasası

Newton’ın İkinci Yasası, bir cisim üzerinde uygulanan net kuvvetin, o cismin kütlesine ve ivmesine eşit olduğunu belirtir. Bu yasayı matematiksel olarak ifade etmek için aşağıdaki denklem kullanılır:

F = m * a

Burada:

• F: Cisim üzerinde uygulanan net kuvvet (N)
• m: Cismin kütlesi (kg)
• a: Cismin ivmesi (m/s²)

Bu denklem, bir cismin hareketini zamanla nasıl değiştirdiğini açıklamak için kullanılabilir.

Örnek:

Bir cisim üzerinde 10 Newtonluk bir kuvvet uygulandığını ve cismin kütlesinin 2 kilogram olduğunu varsayalım. Bu durumda cismin ivmesi ne olacaktır?

Newton’ın İkinci Yasasını kullanarak ivmeyi hesaplayabiliriz:

a = F / m

a = 10 N / 2 kg

a = 5 m/s²

Görüldüğü gibi, 10 Newtonluk bir kuvvet 2 kilogram kütleli bir cismi 5 metre/saniyekare lik bir ivmeyle hızlandırır.

ODE45 Kullanarak Hareketi Çözme:

Newton’ın ikinci yasası (a = F/m), ikinci dereceden bir diferansiyel denklemdir çünkü ivme, konumun zamana göre ikinci türevidir (a = d²x/dt²). ode45 gibi sayısal çözücüler, birinci dereceden diferansiyel denklem sistemleriyle çalışır. Bu nedenle, ikinci dereceden denklemimizi iki adet birinci dereceden denkleme dönüştürmemiz gerekir:

1. Durum Değişkenlerini Tanımlama:
   • y(1): Cismin konumu (x)
   • y(2): Cismin hızı (v veya dx/dt)
2. Denklem Sistemini Yazma:
   • Konumun türevi hızdır: dy(1)/dt = y(2)
   • Hızın türevi ivmedir: dy(2)/dt = F/m

Bu sistem, ode45 fonksiyonuna verilecek olan diferansiyel denklem fonksiyonunu tanımlar. Fonksiyon, t (zaman) ve y (durum vektörü: [konum; hız]) girdilerini alıp, bu durumların türevlerinden oluşan bir vektör ([hız; ivme]) döndürmelidir.

Örnek Kodu:

Aşağıdaki kod, bu sistemi ode45 ile çözer ve sonuçları tek bir grafikte, farklı renkler ve bir lejant (legend) ile gösterir.

% Cismin kütlesi
m = 2; % kg

% Cisim üzerinde uygulanan kuvvet
F = 10; % N

% Başlangıç koşulları [konum; hız]
y0 = [0; 0]; % [metre; m/s]

% Zaman aralığı
t_eval = 0:0.1:10; % saniye

% Diferansiyel denklem sistemi fonksiyonu
% y(1) -> konum, y(2) -> hız
% dy(1)/dt = y(2)      (hız)
% dy(2)/dt = F/m       (ivme)
newton_ode = @(t, y) [y(2); F/m];

% ODE45 fonksiyonunu kullanarak hareketi çöz
[t, y] = ode45(newton_ode, t_eval, y0);

% Konumu ve hızı tek bir grafikte göster
plot(t, y(:,1), 'b-', 'LineWidth', 2, t, y(:,2), 'r--', 'LineWidth', 2);
grid on;
title("Newton'ın İkinci Yasası: Konum ve Hız");
xlabel('Zaman (s)');
ylabel('Değer');
legend('Konum (m)', 'Hız (m/s)', 'Location', 'northwest');

Bu kod, cismin konumunu ve hızını zamanla gösteren iki grafik oluşturacaktır.

Özet:

• ODE45, birinci dereceden ODE’leri çözmek için kullanılan bir fonksiyondur.
• ODE45, y ve dy/dt’nin fonksiyonlarını ve başlangıç koşullarını girdi olarak alır.
• ODE45, zamanla y’nin nasıl değiştiğini gösteren bir çözüm verir.
• ODE45, Newton’ın İkinci Yasası gibi karmaşık hareket problemlerini çözmek için kullanılabilir.

Notlar:

• Bu sadece basit bir örnektir. ODE45 fonksiyonunu daha karmaşık problemlerde de kullanabilirsiniz.
• ODE45 fonksiyonu hakkında daha fazla bilgi için Octave belgelerine bakabilirsiniz: https://sourceforge.net/projects/octave/

---

Ana Sayfaya Dön